Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 2 & - 8 \\ 11 & 11 \end{array}]$

Paso 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 2

Find the determinant.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 11 - 11 \cdot - 8$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $2$ por $11$ .

$22 - 11 \cdot - 8$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 11$ por $- 8$ .

$22 + 88$

Paso 2.2.2

Suma $22$ y $88$ .

$110$

Paso 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{110} [\begin{array}{c} 11 & 8 \\ - 11 & 2 \end{array}]$

Paso 5

Multiplica $\frac{1}{110}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{110} \cdot 11 & \frac{1}{110} \cdot 8 \\ \frac{1}{110} \cdot - 11 & \frac{1}{110} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $11$ de $110$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11 (10)} \cdot 11 & \frac{1}{110} \cdot 8 \\ \frac{1}{110} \cdot - 11 & \frac{1}{110} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.1.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{11 \cdot 10} \cdot 11 & \frac{1}{110} \cdot 8 \\ \frac{1}{110} \cdot - 11 & \frac{1}{110} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.1.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{1}{110} \cdot 8 \\ \frac{1}{110} \cdot - 11 & \frac{1}{110} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $2$ de $110$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{1}{2 (55)} \cdot 8 \\ \frac{1}{110} \cdot - 11 & \frac{1}{110} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.2.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{1}{2 \cdot 55} \cdot (2 \cdot 4) \\ \frac{1}{110} \cdot - 11 & \frac{1}{110} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.2.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{1}{2 \cdot 55} \cdot (2 \cdot 4) \\ \frac{1}{110} \cdot - 11 & \frac{1}{110} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.2.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{1}{55} \cdot 4 \\ \frac{1}{110} \cdot - 11 & \frac{1}{110} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.3

Combina $\frac{1}{55}$ y $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{4}{55} \\ \frac{1}{110} \cdot - 11 & \frac{1}{110} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $11$ de $110$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{4}{55} \\ \frac{1}{11 (10)} \cdot - 11 & \frac{1}{110} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.4.2

Factoriza $11$ de $- 11$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{4}{55} \\ \frac{1}{11 \cdot 10} \cdot (11 \cdot - 1) & \frac{1}{110} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.4.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{4}{55} \\ \frac{1}{11 \cdot 10} \cdot (11 \cdot - 1) & \frac{1}{110} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.4.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{4}{55} \\ \frac{1}{10} \cdot - 1 & \frac{1}{110} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.5

Combina $\frac{1}{10}$ y $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{4}{55} \\ \frac{- 1}{10} & \frac{1}{110} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{4}{55} \\ - \frac{1}{10} & \frac{1}{110} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.7.1

Factoriza $2$ de $110$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{4}{55} \\ - \frac{1}{10} & \frac{1}{2 (55)} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.7.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{4}{55} \\ - \frac{1}{10} & \frac{1}{2 \cdot 55} \cdot 2 \end{array}]$

Paso 6.7.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10} & \frac{4}{55} \\ - \frac{1}{10} & \frac{1}{55} \end{array}]$